Escuela infantil (guardería) a mitad de curso en Madrid

¡Hola a todas! Mi niño nacerá en pocas semanas, a principios de junio. Nuestra idea es llevarle a la guarde a partir de enero como pronto.
El problema es que no sé si en las guarderías públicas de Madrid te dejan incorporarle a mitad de curso, aunque haya que pagar desde septiembre. Llamé a dos de la Comunidad de Madrid y me dijeron que no, pero no sé si esto es oficial. Me comentaron que era obligatorio meterle a los 4 meses recién cumplidos, y no es nuestra intención. Con las del Ayuntamiento no he podido contactar debido al estado de alarma.
Dado el momento que vivimos, que no se puede hablar con nadie ni desplazarse a los centros... Y los plazos de prescripción son ya.
¿Tenéis algo de info? Muchísimas gracias de antemano.